Doktorat Tine Sovič

Na Oddelku za matematiko in računalništvo je doktorirala Tina Sovič.

 

Naslov doktorske disertacije je Dve konstrukciji kontinuumov: inverzne limite in kompaktifikacije. Disertacija je napisana v angleškem jeziku (njen naslov je Two constructions of continua: inverse limits and compactifications). Opravljena je bila pod mentorstvom izr. prof. dr. Iztoka Baniča in somentorstvom izr. prof. dr. Christopherja Mourona, komisijo ob zagovoru pa sta poleg mentorja in somentorja sestavljala še red. prof. dr. Uroš Milutinović in red. prof. dr. Boštjan Brešar.

V disertaciji sta podrobneje opisani dve konstrukciji kontinuumov. Najprej so predstavljene posplošne inverzne limite s pomočjo katerih je konstruiran t.i. univerzalni dendrit Wazewskega. Temu sledi opis kompaktifikacij žarkov in predstavitev rezultatov o njihovem razponu.

V uvodnem poglavju so predstavljeni kuntinuumi z najzanimivejšimi primeri, kot so sin(1/x)-kontinuum, Hilbertova kocka, Knasterjev kontinuum in psevdolok. Predstavljeni so hiperprostori in nekatere izmed lastnosti kontinuumov, kot so: ireducibilnost, gladkost in ničelni razpon.

V nadaljevanju je predstavljenih nekaj različnih konstrukcij kontinuumov. Poudarek je na posplošenih inverznih limitah in na kompaktifikacijah žarkov, ki predstavljajo osrednjo vlogo disertacije. V tem poglavju so obravnavane tudi inverzne limite v kategoriji kompaktnih Hausdorffovih prostorov skupaj z navzgor polzveznimi preslikavami. Dokazano je, da so posplošene inverzne limite z navzgor polzveznimi veznimi preslikavami, skupaj s projekcijami šibke inverzne limite v tej kategoriji.

Sledita najpomembnejši poglavji disertacije. Prvo podrobneje opisuje konstrukcijo družine navzgor polzveznih veznih preslikav f, takšnih, da je za vsako izmed njih inverzna limita inverznega zaporedja enotskih intervalov in f, kot edine vezne preslikave, homeomorfna univerzalnemu dendritu Wazewskega. Poleg drugih rezultatov je podana tudi popolna karakterizacija t.i. funkcij glavnik, katerih inverzne limite zgoraj opisanega tipa, so dendriti.

Naslednje pomembno poglavje govori o kompaktifikacijah žarka. V prvem delu poglavja je s pomočjo takih kompaktifikacij dokazano, da za vsak kontinuum Y obstaja ireducibilen gladek kontinuum, ki vsebuje homeomorfno kopijo Y. Drugi del vsebuje osnovno tezo tega poglavja, ki pravi, da imajo vse kompaktifikacije žarka, katerih ostanek ima ničelni rapon, prav tako ničelni razpon. Dokazi tega dela poglavja so zapisani s pomočjo diskretizacije razpona.
 
V zadnjem poglavju disertacije so predstavljeni še odprti problemi in možnosti za njihovo reševanje.

To je šestintrideseti doktorat na Oddelku za matematiko in računalništvo.